수식과 수학 표현

\usepackage{amsthm}

% 정리 환경 정의
\newtheorem{theorem}{정리}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{보조정리}
\newtheorem{corollary}{따름정리}[theorem]
\newtheorem{definition}{정의}[section]

\begin{document}

\begin{definition}
실수 $x$에 대해, $|x|$는 다음과 같이 정의한다:
$$|x| = \begin{cases}
  x  & \text{if } x \geq 0 \\
  -x & \text{if } x < 0
\end{cases}$$
\end{definition}

\begin{theorem}[삼각 부등식]
임의의 실수 $a$, $b$에 대해 다음이 성립한다:
$$|a + b| \leq |a| + |b|$$
\end{theorem}

\begin{proof}
$a + b$의 부호에 따라 경우를 나누어 증명한다.
$a + b \geq 0$이면, $|a + b| = a + b \leq |a| + |b|$.
$a + b < 0$이면, $|a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) \leq |a| + |b|$.
따라서 모든 경우에 $|a + b| \leq |a| + |b|$이 성립한다.
\end{proof}

% cases 환경: 조건별 정의
$$f(x) = \begin{cases}
  0       & \text{if } x < 0 \\
  x       & \text{if } 0 \leq x < 1 \\
  x^2     & \text{if } x \geq 1
\end{cases}$$

% 피보나치 수열
$$F_n = \begin{cases}
  0                & \text{if } n = 0 \\
  1                & \text{if } n = 1 \\
  F_{n-1} + F_{n-2} & \text{if } n \geq 2
\end{cases}$$

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

% 집합 표기
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

% 벡터와 행렬 표기
$$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}$$

% 편미분
$$\frac{\partial f}{\partial x}, \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

% 여러 줄 수식
\begin{multline}
  p(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^5 \\
  + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\end{multline}

% 수식에 라벨 지정
\begin{equation}
\label{eq:euler}
  e^{i\pi} + 1 = 0
\end{equation}

% 수식 참조
오일러 공식~\eqref{eq:euler}은 가장 아름다운 수식으로 알려져 있다.

% 여러 수식에 각각 번호
\begin{align}
  \label{eq:sum} \sum_{k=1}^{n} k &= \frac{n(n+1)}{2} \\
  \label{eq:sum2} \sum_{k=1}^{n} k^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align}

식~\eqref{eq:sum}과 식~\eqref{eq:sum2}를 비교하면...